P5365 [SNOI2017] 英雄联盟

题目描述

正在上大学的小皮球热爱英雄联盟这款游戏，而且打的很菜，被网友们戏称为「小学生」。

现在，小皮球终于受不了网友们的嘲讽，决定变强了，他变强的方法就是：买皮肤！

小皮球只会玩 $\text{N}$ 个英雄，因此，他也只准备给这 $\text{N}$ 个英雄买皮肤，并且决定，以后只玩有皮肤的英雄。

这 $\text{N}$ 个英雄中，第 $\text{i}$ 个英雄有 $K_i$ 款皮肤，价格是每款 $C_i$ Q 币（同一个英雄的皮肤价格相同）。

为了让自己看起来高大上一些，小皮球决定给同学们展示一下自己的皮肤，展示的思路是这样的：对于有皮肤的每一个英雄，随便选一个皮肤给同学看。

比如，小皮球共有 5 个英雄，这 5 个英雄分别有 $\text{0,0,3,2,4}$ 款皮肤，那么，小皮球就有 $3\times 2\times 4=24$ 种展示的策略。

现在，小皮球希望自己的展示策略能够至少达到 $\text{M}$ 种，请问，小皮球至少要花多少钱呢？

输入格式

第一行，两个整数 $\text{N,M}$。

第二行，$\text{N}$ 个整数，表示每个英雄的皮肤数量 $K_i$。

第三行，$\text{N}$ 个整数，表示每个英雄皮肤的价格 $C_i$。

输出格式

一个整数，表示小皮球达到目标最少的花费。

说明/提示

样例解释

每一个英雄都只有4款皮肤，每款皮肤2 Q币，那么每个英雄买3款皮肤，$3\times 3\times 3\ge 24$，共花费 $6\times 3$ Q币。

数据范围

共 10 组数据，第 $\text{i}$ 组数据满足：$\text{N}\le max(5,{\log }_2^{4}i)$

$\text{100}\mathrm{\%}$ 的数据：$\text{M}\le {10}^{17},1\le K_i\le 10,1\le C_i\le 199$。保证有解。

思路

多重背包，只是价值的计算是乘法

这里要求找到满足条件的最小花费，有点类似完全背包的P2918

P2918 [USACO08NOV]Buying Hay S

但是如果仿照2918的写法，这里的K最大能到10^17，时间空间复杂度都会过高

考虑把方案数量作为价值，花费作为成本，但是这样不方便找最大花费的条件，先算一下最大的可能：

>>> import math
>>> math.log(10,2)**4
121.77577736852207
>>> 121 * 199 * 10 # 最多10个皮肤，每个最贵199
240790
>>> (math.log(10,2)**4) * 199 * 10
242333.7969633589

可以接受的程度，最后再遍历一遍数组，找到最小的满足条件的即可。

另一个难思考的地方是状态转移方程式

在加法的多重背包中，显然；

j = a * C + b;
我们要找：
max(dp[j - k * C] + k * V)
带入
  dp[j - k * C] + k * V 
= dp[a * C + b - k * C] + k * V
= dp[a * C + b - k * C] + k * V
= dp[(a - k) * C + b] + k * V
令r = a - k
原式 
= dp[r * C + b] + (a - r) * V
= dp[r * C + b] - r * V + a * V
a和V是无关量，所以在单调队列找最大的dp[r * C + b] - r * V就可以了

但是本题的多重背包是这样：

max(dp[j - k * C] * k)
= dp[r * C + b] * (a - r)

这里没法拆开a, 所以不方便使用单调背包优化

而二进制拆分法的话会拆成多个物品，不方便相乘

最后尝试直接暴力拆分，居然过了。。。

题解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <deque>
#define debug(x) #x << ":" << x << " "
#define ll long long

using namespace std;

struct
{
    ll K; // 数量
    ll C; // 价格
} heroes[256];
ll dp[2][300000];
int now = 0;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);

    ll N, M;
    cin >> N >> M;

    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        cin >> heroes[i].K;
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        cin >> heroes[i].C;
    }
    int maxcost = 0; // 计算一下最大的花费
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        maxcost += heroes[i].C * heroes[i].K;
    }

    for (int j = 0; j <= maxcost; j++)
    {
        // if (dp[now][j] >= M)
        // {
        dp[now][j] = 1;
        //     break;
        // }
    }

    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        int pre = now;
        now = 1 - now;
        for (int j = 0; j <= maxcost; j++)
        {
            dp[now][j] = dp[pre][j];
            for (int c = 1; c <= heroes[i].K && c <= j / heroes[i].C; c++)
            {
                dp[now][j] = max(dp[now][j], dp[pre][j - c * heroes[i].C] * c);
            }
        }
    }
    for (int j = 0; j <= maxcost; j++)
    {
        if (dp[now][j] >= M)
        {
            cout << j;
            break;
        }
    }

    return 0;
}